fuzzy 集合
fuzzy set
議論領域 (universe of discourse) と呼ぶ集合$ Uと歸屬函數 (membership function) と呼ぶ函數$ \mu:U\to\lbrack 0,1\rbrackとの組$ (U,\mu)を fuzzy 集合と呼ぶ $ \mu(x)を$ xの歸屬度 (grade of membership) と呼ぶ
$ \mu(x)=0である$ xは含まれない (not included) と言ふ
$ \mu(x)=1である$ xは全く含まれる (fully included) と言ふ
$ 0<\mu(x)<1である$ xは fuzzy 元 (fuzzy member) と言ふ
$ \{x|x\in U,\mu(x)>0\}を臺 (support) と呼ぶ
$ \{x|x\in U,\mu(x)=1\}を核 (kernel。core) と呼ぶ
$ \lbrack 0,1\rbrackでない構造$ Lを域とする組$ (U,\mu_{:U\to L})を L-fuzzy 集合 (L-fuzzy set)、L-値歸屬函數と呼ぶ fuzzy 集合$ A=(U,\mu_A)、$ B=(U,\mu_B)に就いて、 等價$ A=B := \forall x_{\in U}(\mu_A(x)=\mu_B(a))
包含$ A\subseteq B := \forall x_{\in U}(\mu_A(x)\le\mu_B(a))
組$ (\top_{:\lbrack 0,1\rbrack\times\lbrack 0,1\rbrack\to\lbrack 0,1\rbrack},\bot_{:\lbrack 0,1\rbrack\times\lbrack 0,1\rbrack\to\lbrack 0,1\rbrack},n_{:\lbrack 0,1\rbrack\to\lbrack 0,1\rbrack})を t-norm と t-conorm と negator の de Morgan triplet として、 共通集合$ A\cap B=(U,\mu_{A\cap B}):=(U,\top(\mu_A(x),\mu_B(x)))
和集合$ A\cup B=(U,\mu_{A\cup B}):=(U,\bot(\mu_A(x),\mu_B(x)))
補集合$ A^C=(U,\mu_{A^C}):=(U,n\circ \mu(x))
代數和$ A+B=(U,\mu_{A+B}):=(U,\mu_A(x)+\mu_B(x)-\mu_A(x)\cdot\mu_B(x))
代數積$ A\cdot B=(U,\mu_{A\cdot B}):=(U,\mu_A(x)\cdot\mu_B(x))
限界和$ A\oplus B=(U,\mu_{A\oplus B}):=(U,\top(\mu_A(x)+\mu_B(x),1))
限界差$ A\ominus B=(U,\mu_{A\ominus B}):=(U,\bot(\mu_A(x)-\mu_B(x),0))
限界積$ A\odot B=(U,\mu_{A\odot B}):=(U,\bot(\mu_A(x)+\mu_B(x)-1,0))
激烈和$ A\dot\lor B=(U,\mu_{A\dot\lor B}),$ \mu_{A\dot\lor B}:=\begin{cases}\mu_A(x) & {\rm if}~\mu_B(x)=0 \\ \mu_B(x) & {\rm if}~\mu_A(x)=0 \\ 1 & {\rm otherwise}\end{cases}
激烈積$ A\dot\land B=(U,\mu_{A\dot\land B}),$ \mu_{A\dot\land B}:=\begin{cases}\mu_A(x) & {\rm if}~\mu_B(x)=1 \\ \mu_B(x) & {\rm if}~\mu_A(x)=1 \\ 0 & {\rm otherwise}\end{cases}
fuzzy 測度 (fuzzy mesure)
fuzzy 積分
Choquet 積分 (Choquet integral)
$ (C)\int fd\nu:=\int_{-\infty}^0(\nu(\{s|f(s)\ge x\})-\nu(S))dx+\int_0^\infty\nu(\{s|f(s)\ge x\})dx
$ f:S\to\R^-
$ {\cal F}\subseteq 2^S
$ \nu:{\cal F}\to\R^+單調函數
$ \forall x_{\in\R}(\{s|s\in S,f(s)\ge x\}\in{\cal F})
菅野積分 (Sugeno integral)
$ \int_A h(x)\circ g:=\sup_{E\subseteq X}\left(\min\left(\min_{x\in E}h(x),g(A\cap E)\right)\right)=\sup_{\alpha\in\lbrack 0,1\rbrack}(\min(\alpha,g(A\cap F_\alpha)))
$ \text{h-index}(f):=\max\{i|i\in\N,f(i)\ge i\}
h-index is also related to Sugeno integral and Ky Fan metric.
fuzzy 數 (fuzzy number)
fuzzy 關係
fuzzy 行列
fuzzy graph
fuzzy 圈
Goguen 圈 (Goguen category)